À partir de l’incomplétude : indécidabilité logique et aléatoire physique

En 1890, Poincaré présente son grand théorème sur l’imprédictibilité de certaines dynamiques physiques comme “résultat négatif” ; il constitue en fait un passage important pour la compréhension de l’aléatoire classique. Un autre grand “non”, l’incomplétude de tout formalisme suffisamment expressif, est au cœur du célèbre article de Gödel de 1931 ; la notion d’incomplétude sera utilisé aussi dans un célèbre article d’Einstein, Podolsky et Rosen de 1935 (EPR) au sujet de la mécanique quantique. L’aléatoire mathématique (asymptotique) nous permettra de corréler ces cadres très différents et de poser le problème de l’aléatoire en biologie.
Dans les six séances de ce cours, nous nous proposons de présenter une réflexion philosophique et certains aspects mathématiques de ces incidences de l’incomplétude logique et de l’imprédictibilité physique, comme forme de l’aléatoire, ainsi que quelques résonances contemporaines. Au-delà de la première leçon, totalement informelle, nous tenterons d’introduire les notations mathématiques utilisées et également d’expliciter les cadres conceptuels et l’impact philosophique des résultats techniques présentés.

Ressources en ligne

• Séance 1 - Mathématiques, physique et philosophie, une introduction (le 9 mars 2010) — Giuseppe Longo
  Savoir positif et savoir critique ou l’importance des résultats négatifs : du Théorème des Trois Corps de Poincaré à l’incomplétude de Gödel. L’aléatoire et la physique quantique : la question de la mesure. L’alphabet et la détermination : le mythe de la complétude des analyses moléculaires en biologie.
  
• Séance 2 - Gödel : Déduction formelle et indécidabilité (le 11 mars 2010) — Giuseppe Longo
  1. Codage et représentation : premier théorème d’incomplétude.
  2. Codage et cohérence : deuxième théorème d’incomplétude.
  3. Le sens et la preuve ; des “philosophies” contre Hilbert : Poincaré, Weyl et Wittgenstein.
  
• Séance 3 - Poincaré : l’aléatoire comme imprédictibilité dynamique (le 16 mars 2010) — Giuseppe Longo
  1. L’aléatoire classique entre détermination et mesure. L’aléatoire à la Birkhoff.
  2. L’aléatoire algorithmique, comme forme de l’indécidabilité gödelienne : Poincaré versus Gödel à la limite asymptotique.
  
• Séance 4 - L’incomplétude en logique aujourd’hui : l’incomplétude mathématique des formalismes (le 18 mars 2010) — Giuseppe Longo
  1. La forme finie de Friedman du théorème de Kruskal ; le sens et l’ordre, la cognition versus les ordinaux.
  2. Les théorèmes de normalisation en Théorie des Types et la cohérence de l’analyse.
  
• Séance 5 - Einstein : Mécanique quantique et incomplétude (le 23 mars 2010) — Giuseppe Longo
  1. La structure logique et la structure de l’espace dans l’analyse de EPR (Einstein, Podolsky, Rosen).
  2. La mécanique quantique est-elle complète ? Le rôle de l’aléatoire et de la mesure au-delà de EPR.
  3. Synthèse : les différentes formes physiques et algorithmiques de l’aléatoire.
  
• Séance 6 - Entre physique et biologie (le 25 mars 2010) — Giuseppe Longo
  1. L’état vivant de la matière : l’apport méthodologique de la physique quantique et les dualités théoriques entre physique et biologie. La question de l’aléatoire en biologie.
  2. Quelques extensions théoriques : la criticité étendue et l’anti-entropie. La marche aléatoire de la “complexification” des organismes au cours de l’évolution des espèces.
  

Organisateurs

Giuseppe Longo (CNRS) Équipe "Complexité et information morphologiques" (CIM), Laboratoire d’Informatique de l’ENS (LIENS). Membre à temps partiel du CREA, Ecole Polytechnique. Membre co-fondateur du CenECC, ENS. Ancien responsable de l’équipe Langages, Types et Logique, LIENS. Ancien Professeur ("Professore Ordinario") d’Informatique, Universita’ di Pisa.