Voyage vers l'infiniment petit
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Formalisme mathématique

La mécanique quantique utilise des objets mathématiques abstraits, qui semblent étranges au premier abord. Nous sommes des êtres macroscopiques, notre perception du monde au moyen de nos organes sensoriels est macroscopique et il nous paraît donc naturel de décrire la Nature avec les outils de la physique classique. En inventant de nouveaux appareils de mesure, les physiciens ont augmenté la sensibilité et le domaine de mesure de nos organes sensoriels. Par des expériences nouvelles, ils découvrent des phénomènes nouveaux, qu'ils ne peuvent pas expliquer avec le formalisme de la physique classique. C'est pourquoi ils sont amenés à émettre de nouvelles hypothèses et à bâtir de nouvelles théories. La mécanique quantique semble contraire à l'intuition, mais elle explique un grand nombre de phénomènes et n'a jamais été prise en défaut, du moins jusqu'à présent.

En mécanique classique, l'état d'une particule est décrit par les coordonnées de la position et de la vitesse. En mécanique quantique, il est décrit par un vecteur d'état dans un espace mathématique abstrait appelé espace de Hilbert. En mécanique quantique, la position, la vitesse et certaines autres grandeurs physiques (énergie, impulsion, etc.) sont décrits non pas par un nombre mais par des opérateurs (un opérateur est un objet mathématique qui agit sur un vecteur d'état pour le transformer en un autre vecteur d'état).

Action d'un opérateur sur le vecteur d'état. Un opérateur est un objet mathématique qui agit sur un vecteur d'état pour le transformer en un autre vecteur d'état.

Si l'on fait agir un opérateur sur une multitude de vecteurs d'état disposés dans toutes les directions (comme les piques d'un hérisson), on remarque que la plupart se transforment en d'autres vecteurs d'état. Certains cependant gardent leur direction et éventuellement s'allongent ou se raccourcissent : ce sont les états propres de l'opérateur. Le rapport entre la longueur finale et la longueur initiale s'appelle valeur propre.

Sous l'action d'un opérateur, certains vecteurs d'état gardent leur direction mais modifient leur longueur : ce sont les états propres de l'opérateur. Le rapport entre la longueur finale (après action de l'opérateur) et la longueur initiale (avant action de l'opérateur) est la valeur propre.

Par exemple, si l'on agit avec l'opérateur énergie sur un de ses états propres, le vecteur d'état garde sa direction et sa longueur se modifie. La valeur propre représente alors la valeur de l'énergie de l'état propre dans lequel se trouve le système.

Un des faits les plus troublants de la mécanique quantique est que l'état du système n'est pas forcément un état propre de l'opérateur, il peut être une superposition, une « combinaison » d'états propres. Quelle est alors, par exemple, l'énergie de cet état ? Une « combinaison » de valeurs propres ? Précisons d'abord comment en mécanique quantique on effectue la mesure de l'énergie d'un système.

Si le système se trouve dans un des états propres de l'opérateur énergie, la mesure est simple : l'énergie du système est exactement la valeur propre de cet opérateur, valeur qui correspond au vecteur d'état propre dans lequel se trouve le système.

Si le système est une superposition d'états propres, on doit faire appel à l'interprétation probabiliste : on prépare un grand nombre de systèmes identiques se trouvant dans le même état. Dans chacun des systèmes, en effectuant la mesure, on projette soudainement (on collapse) le vecteur d'état sur un des vecteurs propres de l'opérateur énergie. Certains des systèmes vont collapser sur l'état propre n°1, d'autres sur l'état propre n°2, et ainsi de suite. Statistiquement, le nombre des systèmes qui collapse sur l'état propre n°1 (donc ayant l'énergie égale à la valeur propre n°1) est proportionnel au carré de la longueur de la projection du vecteur d'état sur le vecteur propre n°1 ; le nombre des systèmes qui collapse sur l'état propre n°2 (donc ayant l'énergie égale à la valeur propre n°2) est proportionnel au carré de la longueur de la projection du vecteur d'état sur le vecteur propre n°2, et ainsi de suite. Chacun des vecteurs propres a donc sa probabilité, qui est proportionnelle au carré de la longueur de la projection. On ne peut donc plus parler de valeur déterminée de l'énergie mais plutôt de valeur moyenne, somme des valeurs propres de l'opérateur énergie pondérées par ces probabilités.

Les adeptes de la physique classique ont eu du mal à accepter cette interprétation probabiliste de la mécanique quantique, même certains de ses fondateurs. Einstein en particulier n'a jamais accepté l'idée que « Dieu joue aux dés ».

Opération de mesure de l'énergie d'un système quantique : le vecteur d'état du système est projeté soudainement sur un des vecteurs propres de l'opérateur énergie, avec une probabilité pour chacun des vecteurs propres égale au carré de la longueur de la projection. La valeur moyenne de l'énergie est la somme des valeurs propres de l'opérateur énergie pondérées par ces probabilités.

Ces considérations sont valables non seulement pour l'énergie mais aussi pour tout opérateur décrivant une autre grandeur physique comme l'opérateur de la position, l'opérateur de la vitesse, etc. L'interprétation statistique de la mécanique quantique est due à Max Born.

Max Born (1882-1970), physicien allemand, professeur à Göttingen, Cambridge et Edinburgh. Il donne l'interprétation statistique de la mécanique quantique et introduit des techniques mathématiques pour traiter la diffusion des particules. Prix Nobel de physique en 1954.

L'état d'un système évolue dans le temps selon l'équation de Schrödinger. L'opérateur de l'évolution dans le temps est justement l'opérateur énergie. L'état du système au moment suivant est : l'état du système (au moment présent) + l'action de l'opérateur énergie sur l'état du système (au moment présent) multipliée par l'intervalle de temps écoulé (entre le moment suivant et le moment présent), divisé par la constante de Planck multipliée par le nombre complexe i=√-1). Ou, plus simplement :
Ψ(t+dt) = Ψ(t) + dt/iħ Ĥ(t) Ψ(t).

L'évolution du vecteur d'état dans le temps est décrite par l'équation de Schrödinger. Le calcul de l'état du système au moment suivant est : Ψ(t+dt) = Ψ(t) + dt/iħ Ĥ(t) Ψ(t). Sur cette figure, on a choisi comme état initial un vecteur d'état qui ne soit pas un état propre de l'opérateur énergie, sinon le vecteur d'état n'aurait pas changé de direction.

Remarquons que le processus de mesure est très différent du processus d'évolution dans le temps du vecteur d'état du système. Dans le premier cas, on interagit sur le système avec un appareil de mesure (l'opérateur énergie) et l'état du système se projette soudainement sur un des états propres de l'opérateur énergie. Dans le deuxième cas, on laisse le système évoluer librement sans le perturber, son état change de façon graduelle dans le temps.
Par exemple, considérons le problème dit du chat de Schrödinger, qui a marqué l'élaboration de la mécanique quantique : dans une boîte fermée et opaque, on place un atome radioactif qui a 50% de probabilité de se désintégrer dans l'heure qui suit et 50% de rester dans le même état. S'il se désintègre, il actionne un mécanisme qui brise une fiole de cyanure et tue un chat enfermé dans la boîte ; sinon le chat reste vivant. Au bout d'une heure, le chat sera-t-il mort ou vivant ? La réponse est qu'il n'est ni vivant ni mort, il se trouve dans une superposition de ces deux états. L'opérateur qui décrit le chat a deux valeurs propres : vivant et mort. Le chat est initialement dans l'état vivant, mais l'équation de Schrödinger le fait évoluer et une heure plus tard, son vecteur d'état se trouve dans une position intermédiaire à mi-chemin entre vivant et mort, donc dans une superposition des deux états. Quand on ouvre la boîte, le système interagit avec l'instrument de mesure, en l'occurrence nos yeux, et le vecteur d'état du chat collapse sur l'un des deux états propres, soit sur l'état vivant avec une probabilité de 50%, soit sur l'état mort avec une probabilité de 50%. D'un point de vue statistique, si l'on réalise un grand nombre d'expériences avec des systèmes identiques (mêmes atomes, mêmes fioles de cyanure, mêmes chats), le chat survit dans la moitié des cas et meurt dans l'autre moitié.

Le problème du chat de Schrödinger. Initialement, le chat est dans l'état vivant, l'équation de Schrödinger le fait évoluer et une heure plus tard, son vecteur d'état se trouve dans une position intermédiaire entre vivant et mort, donc dans une superposition de ces deux états. Quand on ouvre la boîte, le système interagit avec l'instrument de mesure, en l'occurrence nos yeux, et le vecteur d'état du chat collapse sur un des deux états propres : soit sur l'état vivant avec une probabilité de 50%, soit sur l'état mort avec une probabilité de 50%.

L'opérateur position et l'opérateur vitesse n'ont pas les mêmes états propres. En d'autres termes, un système qui se trouve dans un état propre de l'opérateur position (dont la position a donc une valeur déterminée) ne peut pas se trouver dans un état propre de l'opérateur vitesse, et inversement, parce que ces deux opérateurs ne commutent pas. On ne peut donc pas simultanément mesurer avec précision la position et la vitesse d'une particule, d'où une incertitude dans cette mesure. On peut montrer que l'incertitude (l'imprécision) de mesure de la position multipliée par l'incertitude de mesure de la vitesse (plus exactement de l'impulsion) est supérieur à la constante de Planck, de même que le produit entre l'incertitude de mesure de l'énergie et celle du temps. Ces inégalités sont appelées les relations d'incertitude d'Heisenberg