Voyage vers l'infiniment petit
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Théorie quantique des champs

C'est Michael Faraday qui réalise l'importance du concept de champ, forme d'existence de la matière, capable d'emmagasiner de l'énergie ou de l'impulsion.

Le concept de champ paraît abstrait au premier abord, mais il est bien plus simple qu'on ne le pense. Imaginons que pour connaître la température de chaque point d'une pièce nous utilisions une fonction mathématique qui nous donne la température pour chaque point de la pièce (identifié par trois coordonnées : longueur, largeur et hauteur) : c'est le champ des températures de la pièce. De même, la fonction mathématique de la vitesse d'écoulement de l'eau dans une rivière à chacun de ses points représente le champ des vitesses de la rivière.

Dans la première moitié du XIXe siècle, Faraday effectue de nombreuses expériences et montre que les champs électriques et magnétiques sont étroitement liés. Mais c'est James Clerk Maxwell qui pose les bases mathématiques de la théorie électromagnétique : par les équations qui portent son nom, il montre comment les champs électriques et magnétiques sont générés. Un champ électrique est engendré par une charge électrique ou par une variation de champ magnétique. Un champ magnétique est engendré par un courant électrique ou par une variation de champ électrique. Selon cette dernière possibilité, introduite par Maxwell à partir de considérations théoriques, les champs électriques et magnétiques peuvent exister en l'absence des charges ou des courants électriques : la variation du champ électrique produit un champ magnétique, la variation de ce dernier produit à son tour un champ électrique, et ainsi de suite. Ces champs qui s'auto-entretiennent décrivent donc la propagation d'une onde électromagnétique. C'est par exemple le cas lors d'une communication par téléphone sans fil (une fois générée par l'antenne, l'onde électromagnétique se propage pour arriver au récepteur du correspondant) ou encore quand la lumière se propage depuis la source qui l'a engendrée jusqu'à nos yeux.

Élaborée en 1873, la théorie électromagnétique de Maxwell a connu un grand succès. Aujourd'hui, on l'utilise toujours pour construire des systèmes de télécommunication terrestre ou par satellite, concevoir des téléphones portables et des avions invisibles au radar.

C'est une théorie classique des champs, dans laquelle les lois quantiques n'interviennent pas. En effet, alors que la mécanique quantique décrit un nombre constant et fini de particules, la théorie de Maxwell décrit un système qui a une infinité de degrés de liberté car un champ a un nombre infini de variables, la valeur d'un champ variant pour chaque point de l'espace et à chaque instant. Les physiciens ont cherché à introduire les lois quantiques dans la théorie de Maxwell et développé ainsi une nouvelle théorie : l'électrodynamique quantique.

L'étude du rayonnement du corps noir, grâce auquel Max Planck émet en 1900 l'hypothèse des quanta, fait intervenir l'interaction entre le champ électromagnétique et la matière, mais les physiciens n'ont pas cherché immédiatement à traiter le champ électromagnétique mathématiquement, d'un point de vue quantique, cette voie était alors pratiquement inaccessible à cause de son infinité de degrés de liberté. Ils ont donc commencé par traiter des systèmes plus simples, ayant un nombre fini de degrés de liberté, et sont ainsi parvenus à poser les bases mathématiques de la mécanique quantique. C'est Dirac qui en 1928 explique comment rendre quantique un système qui a une infinité de degrés de liberté. On savait déjà décrire selon les lois de la physique classique un système qui a une infinité de degrés de liberté, par exemple une corde qui vibre : elle a des modes d'oscillation, à savoir une fréquence de base (dite fréquence fondamentale) et ses multiples (les harmoniques). La corde est un objet unidimensionnel mais le concept de mode d'oscillation est valable aussi pour les objets tridimensionnels, comme par exemple le champ électromagnétique contenu dans une grande boîte parallélépipédique. On savait dès la fin du XIXe siècle calculer ces modes d'oscillation.

Les modes d'oscillation d'une corde qui vibre : la fréquence de base (fréquence fondamentale) et les harmoniques (multiples de la fréquence fondamentale). Si la longueur de la corde tend vers l'infini, les fréquences des modes d'oscillation prennent des valeurs continues, ce qui signifie que l'espacement entre les fréquences de deux harmoniques successives tend vers zéro.

Comment introduire les lois quantiques ? Chaque mode d'oscillation oscille avec une fréquence déterminée, les lois quantiques impliquent que l'énergie de cet oscillateur (qui est égale à la fréquence multipliée par la constante de Planck) ne puisse prendre que des valeurs discrètes, proportionnelles au numéro du niveau d'énergie (les valeurs de l'énergie sont équidistantes). S'il y a dans la boîte n photons de même fréquence, alors le mode d'oscillation du champ électromagnétique dont la fréquence est égale à celle des photons est excité dans le n-ème niveau. Voilà le principe fondamental de la théorie quantique des champs, il est valable pour toute particule.

Description de la théorie quantique des champs. S'il y a dans la boîte 5 photons de même fréquence, le mode d'oscillation du champ électromagnétique dont la fréquence est égale à celle des photons est alors excité dans le 5e niveau. Si les dimensions de la boîte tendent vers l'infini, les fréquences des modes d'oscillation prennent des valeurs continues : on peut ainsi prendre en compte les particules quelle que soit la valeur de leur énergie.

On peut l'appliquer par exemple pour décrire la réaction d'annihilation e+ e- → 2γ. Il y a dans cet exemple trois champs quantifiés : un qui décrit les électrons, un qui décrit les positrons et un qui décrit les photons. L'électron a une énergie donnée, la fréquence du mode d'oscillation du champ qui lui correspond est égale à cette énergie divisée par la constante de Planck. Il en est de même pour le positron et pour les photons. Initialement, le mode d'oscillation des électrons et celui des positrons sont tous deux sur le premier état excité, celui des photons se trouve dans l'état fondamental. Il y a donc initialement un électron, un positron et zéro photon. Quand l'électron et le positron s'annihilent, le mode d'oscillation de l'électron et celui du positron passent du premier état excité à l'état fondamental, celui du photon passe alors de l'état fondamental au deuxième état excité. Il y a donc zéro électron, zéro positron et deux photons. L'énergie est conservée : l'énergie des photons émis est égale à la somme des énergies de l'électron et du positron.

On peut généraliser cette description à l'ensemble des processus dans lesquels le nombre des particules n'est pas fixe.

La réaction d'annihilation e+ e- → 2γ décrite par la théorie quantique des champs. Initialement, le mode d'oscillation des électrons et celui des positrons sont tous deux dans le premier état excité, celui des photons se trouve dans l'état fondamental, il y a donc initialement un électron, un positron et zéro photon. Quand l'électron et le positron s'annihilent, le mode d'oscillation de l'électron et celui du positron passent du premier état excité à l'état fondamental, celui du photon passe alors de l'état fondamental au deuxième état excité. Il y a donc zéro électron, zéro positron et deux photons.

Mathématiquement, la variation du nombre de particules s'effectue à l'aide d'opérateurs : l'opérateur de création permet de passer d'un niveau énergétique n donné au niveau supérieur n+1, l'opérateur d'annihilation d'un niveau énergétique n au niveau inférieur n-1.

L'opérateur de création permet de passer d'un niveau énergétique n donné au niveau supérieur n+1, l'opérateur d'annihilation d'un niveau énergétique n au niveau inférieur n-1.

Quelle est l'énergie totale du système quand il ne contient aucune particule ? C'est simple : il suffit d'additionner, sur tous les modes d'oscillation possibles du champ, l'énergie de l'état fondamental de chaque oscillateur harmonique correspondant. Or l'énergie de l'état fondamental de l'oscillateur harmonique quantique n'est pas nulle (elle est égale à la moitié de la fréquence multipliée par la constante de Planck) et le nombre de modes est infini. L'énergie totale du système est donc infinie ! Mais ce n'est pas l'énergie totale de l'état fondamental qui compte, c'est plutôt les différences d'énergie entre les différents niveaux d'énergie des modes d'oscillation. On peut donc soustraire cet infini et fixer l'état fondamental de l'ensemble des oscillateurs comme étant le zéro de l'énergie.

L'état fondamental des modes d'oscillation a des effets mesurables, notamment l'effet Casimir : deux plaques de métal parallèles, disposées dans le vide à une distance donnée, s'attirent. En effet, des oscillations du champ électromagnétique se forment entre ces deux plaques, à la manière d'une corde qui vibre entre deux extrémités fixes. Il n'y a aucun photon entre les plaques, les modes d'oscillation du champ électromagnétique se trouvent donc dans l'état fondamental. L'énergie de l'état fondamental du système est infinie, mais la différence d'énergie entre deux configurations du système, qui correspondent à deux distances différentes entre les plaques, est finie, elle dépend d'une quantité négative inversement proportionnelle au cube de la distance. Le système tend à évoluer vers l'état d'énergie le plus bas, qui correspond à la plus courte distance entre les plaques.

Hendrick Casimir (1909-2000), physicien hollandais, directeur des laboratoires Philips à Eindhoven, professeur à l'université de La Haye. Il travaille dans le domaine de la supraconductivité, des diélectriques et prédit l'effet qui porte son nom : deux plaques métalliques parallèles situées dans le vide s'attirent. Son nom est aussi associé à l'opérateur qui commute avec tous les générateurs d'un groupe.