Voyage vers l'infiniment petit
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Electrodynamique quantique

Théorie

La physique est une science expérimentale et le physicien doit faire appel aux formalismes mathématiques pour obtenir des prédictions quantitatives. Ces dernières seront confirmées ou infirmées par l'expérience, la théorie physique sera validée ou rejetée.

On a présenté dans les paragraphes précédents les aspects qualitatifs de la théorie quantique des champs, on va maintenant aborder les aspects quantitatifs. Ils sont plus difficiles qu'il ne paraît au premier abord.

Nous ne pouvons décomposer en modes d'oscillation des systèmes ayant une infinité de degrés de liberté que si les particules décrites par le système n'interagissent pas entre elles. En d'autres termes, on ne peut trouver de solution aux équations qui décrivent le champ des électrons, celui des positrons et celui des photons que si ces particules sont indépendantes les unes des autres, ne se transforment pas l'une dans l'autre comme c'est le cas dans la réaction d'annihilation électron-positron. On parle de champs libres.

D'un point de vue mathématique, on décrit les champs quantiques libres par des termes quadratiques, qu'on peut toujours écrire comme des modes d'oscillation harmonique. On quantifie le champ en identifiant la présence de n particules d'énergie donnée au fait que le mode d'oscillation de même énergie se trouve excité dans le n-ème niveau. Si l'on introduit des interactions, les choses se compliquent : pour annihiler un électron avec un positron et créer des photons, il faut introduire des termes de degré au moins égal à trois, il faut un opérateur qui annihile l'électron, un autre qui annihile le positron et un autre qui crée un photon. Or en général, on ne sait pas résoudre les équations des théories contenant des termes de degré égal ou supérieur à trois.

La théorie des perturbations offre cependant une résolution approximative à ce problème. Elle date du XVIIIe siècle : à la suite de l'élaboration de la théorie newtonienne de la gravitation, les physiciens se focalisèrent sur le calcul des trajectoires des planètes. Ils savaient calculer les trajectoires de deux corps soumis à la force gravitationnelle, mais ils ne savaient pas calculer la solution exacte pour trois corps et plus, ce que l'on ne sait toujours pas faire aujourd'hui. Dans une première approximation, on ne prend donc en compte que deux corps. Par exemple, la trajectoire de la Terre est influencée principalement par le Soleil et dans une moindre mesure par d'autres corps célestes ; pour calculer la trajectoire de la Terre autour du Soleil, on ne prend en compte dans un premier temps que le Soleil et la Terre, puis dans un second temps on ajoute les petites perturbations dues aux autres corps célestes. On utilise encore aujourd'hui cette technique pour calculer les trajectoires des satellites et des sondes spatiales, on l'utilisera dans l'avenir pour les vols interplanétaires.

De même, dans la théorie quantique des champs, on peut, dans une première approximation, ne prendre en compte que les champs quadratiques qui décrivent les particules libres (électrons, positrons, photons) et négliger la perturbation, c'est-à-dire le terme de troisième degré qui décrit leurs interactions. On obtient un résultat approximatif appelé résultat à l'ordre zéro. Pour l'améliorer, on ajoute ensuite la perturbation : on évalue la correction que la perturbation apporte au résultat à l'ordre zéro, on l'additionne au résultat à l'ordre zéro et on obtient un résultat plus précis appelé résultat à l'ordre un. De même, on évalue la correction que la perturbation apporte au résultat à l'ordre un pour calculer le résultat à l'ordre deux, et ainsi de suite de proche en proche par itération. On obtient ainsi une somme qui a une infinité de termes. Si le terme qui décrit la perturbation a une faible valeur numérique, cette somme converge rapidement et on pourra donc ne garder qu'un petit nombre de termes, le résultat sera suffisamment précis.

Cette théorie des perturbations s'applique avec succès à l'électromagnétisme. L'opérateur de troisième degré qui décrit l'interaction entre les électrons, positrons et photons est multiplié par une constante, appelée constante de couplage. C'est elle qui mesure l'intensité de l'interaction électromagnétique, elle est égale au carré de la charge électrique de l'électron divisé par le produit de la constante de Planck et de la vitesse de la lumière. On l'appelle aussi constante de structure fine et on la note avec la lettre α. Sa valeur numérique relativement faible (1/137 ≈ 0,0073) permet d'obtenir d'excellentes prédictions avec les résultats à l'ordre un et deux.

L'application de cette théorie des perturbations à la théorie quantique des champs est très compliquée, elle n'est à la portée que des virtuoses du calcul mathématique comme Julian Schwinger. C'est Richard Feynman qui développera une technique plus simple, basée sur des diagrammes qui portent son nom et qui calculent les probabilités du processus étudié. En effet, on peut toujours calculer un processus compliqué au moyen de diagrammes élémentaires qui s'imbriquent les uns dans les autres comme des pièces de Lego. Dans le cas de l'électromagnétisme, trois diagrammes suffisent pour décrire tous les processus :
- couplage électron-photon (appelé vertex) : un électron peut émettre ou absorber un photon ; ce processus a une probabilité proportionnelle à la charge électrique de l'électron ;
- propagateur du photon : un photon peut être émis à un point donné de l'espace-temps et absorbé à un autre ; la probabilité ne dépend que de la distance dans l'espace-temps entre les deux points ;
- propagateur de l'électron : un électron peut être émis à un point donné de l'espace-temps et absorbé à un autre ; la probabilité est dans ce cas plus compliquée à décrire et elle dépend aussi de la masse de l'électron.

Les diagrammes des positrons sont pratiquement identiques aux diagrammes des électrons : il suffit de changer le sens du temps (comme si on déroulait un film à l'envers) pour transformer un positron en un électron.

Trois diagrammes de Feynman suffisent pour décrire tous les processus de l'interaction électromagnétique : couplage électron-photon, propagateur du photon et propagateur de l'électron.

La loi de Coulomb (l'énergie d'interaction entre deux charges électriques est proportionnelle aux charges et inversement proportionnelle à la distance qui les séparent), calculée au moyen de diagrammes de Feynman. Le photon échangé par les électrons s'appelle photon virtuel car il se matérialise à un point de l'espace-temps, puis disparaît à un autre. Les électrons, eux, sont réels car ils peuvent être détectés avec les instruments de mesure.

Deux électrons interagissent par interaction électromagnétique en échangeant des photons, de la même manière que deux joueurs de tennis s'échangent une balle. Prenons deux électrons séparés par une distance donnée. Le diagramme de Feynman d'interaction électromagnétique entre ces deux électrons se décompose en trois diagrammes élémentaires : le premier électron émet un photon à un premier point de l'espace-temps, le photon se propage, le photon est absorbé par le deuxième électron à un deuxième point de l'espace-temps. La probabilité d'émission du photon est proportionnelle à la charge de l'électron ; la probabilité de propagation du photon additionnée pour toutes les paires possibles de points de l'espace-temps est inversement proportionnelle à la distance dans l'espace entre les deux électrons ; la probabilité d'absorption est proportionnelle à la charge de l'électron. L'énergie de l'interaction entre les deux électrons est donc proportionnelle au carré de la charge de l'électron et inversement proportionnelle à la distance.

Pour calculer la force de l'interaction, il suffit de faire varier la distance entre les deux électrons et de calculer la variation de leur énergie d'interaction. Puisque l'énergie est proportionnelle à l'inverse de la distance, sa variation est inversement proportionnelle au carré de la distance. On retrouve ainsi, par les diagrammes de Feynman, la force électrostatique qui s'exerce entre deux électrons, elle est proportionnelle aux deux charges et inversement proportionnelle au carré de la distance : c'est la loi de Coulomb.

Voilà le résultat à l'ordre zéro en perturbation de l'interaction électromagnétique. Pour un calcul plus précis, il fallait apporter des corrections à la loi de Coulomb en calculant d'autres diagrammes de Feynman, comme celui qui suit.

La loi de Coulomb n'est que le résultat à l'ordre zéro en théorie des perturbations de l'interaction électromagnétique entre deux électrons. Ce diagramme contenant une boucle est la correction d'ordre 1. Les photons et la paire électron-positron sont des particules virtuelles.

Un premier électron émet un photon, le photon se propage puis se matérialise en une paire électron-positron qui se propagent puis s'annihilent pour se retransformer en un photon qui se propage et est finalement absorbé par un deuxième électron. Ce processus contient huit diagrammes élémentaires : quatre font intervenir le couplage électron-photon, deux le propagateur du photon et deux le propagateur de l'électron.

Mais le calcul pose des problèmes apparemment insurmontables : il faut additionner les diagrammes de Feynman pris à tous les points de l'espace-temps. Or la somme sur toutes les paires de points de l'espace-temps de la boucle du diagramme représentant la propagation de la paire électron-positron donne un résultat infini. Il existe par ailleurs deux autres diagrammes de Feynman en boucle qui donnent des résultats infinis.

Le calcul de ces trois diagrammes de Feynman en boucle donne des résultats infinis.

Le problème des infinis n'est pas surprenant, il apparaît déjà dans les théories classiques de l'électromagnétisme. Par exemple, puisque la loi de Coulomb affirme que la force électrostatique varie avec l'inverse du carré de la distance, que se passe-t-il si la distance devient extrêmement petite, la force peut-elle devenir infinie ? Autre exemple du problème des infinis : quelle est la force nécessaire pour mettre en mouvement un électron initialement au repos ? Conformément à la théorie de Maxwell, toute particule chargée accélérée émet des ondes électromagnétiques. Or, ces dernières agissent sur l'électron en le freinant. Le calcul de cette force de freinage selon la théorie de Maxwell donne un résultat infini. Il serait donc impossible de déplacer un électron, ce qui est bien sûr contredit par l'expérience !

Ce n'est qu'en 1949 que Julian Schwinger, Richard Feynman, Sin-Itiro Tomonaga et Freeman Dyson parviennent à résoudre ce problème des quantités infinies des diagrammes en boucle : ils le contournent en inventant une méthode de calcul ingénieuse appelée renormalisation. Elle introduit enfin les concepts quantiques de façon cohérente dans la théorie de Maxwell. Cette nouvelle théorie est appelée électrodynamique quantique.

Richard Feynman (1918-1988), physicien américain, professeur à Cornel University et au California Institute of Technology. Avec une grande originalité, il propose une nouvelle formulation de la mécanique quantique, pose les bases de l'électrodynamique quantique, invente les diagrammes qui portent son nom, est co-auteur avec Gell-Mann de la théorie V-A de l'interaction faible et propose le modèle des partons pour décrire la structure du proton. Prix Nobel de physique en 1965.

Julian Schwinger (1918-1994), physicien américain, professeur à l'Université de Harvard. Jeune prodige, il obtient à 21 ans son doctorat à l'Université Columbia et devient à 28 ans l'un des plus jeunes professeurs de Harvard. Pendant la Seconde guerre mondiale, il travaille au Radiation Laboratory du MIT et développe la théorie des ondes radar et sonar. Il invente la technique de renormalisation et pose les bases de l'électrodynamique quantique. Il émet l'hypothèse qu'il existe plusieurs variétés de neutrino. Prix Nobel de physique en 1965.

Sin-Itiro Tomonaga (1906-1979), physicien japonais, professeur à l'Université de Tokyo. Isolé de la communauté des physiciens occidentaux par la Seconde guerre mondiale, il établit en 1943 un formalisme de l'électrodynamique quantique. Ses travaux commencent à être connus après la guerre, en même temps que ceux de Schwinger et Feynman. Prix Nobel de physique en 1965.

Freeman Dyson (né en 1923), physicien anglais, professeur à l'Institute of Advanced Study (Princeton). Il démontre que la formulation de l'électrodynamique quantique de Schwinger et celle de Feynman. sont équivalentes. Favorable à l'exploration et à la colonisation du système solaire, il contribue au projet Search for Extraterrestrial Life (SETI).

Le calcul des diagrammes de Feynman en boucle donne un résultat infini car on les additionne sur toutes les paires de points possibles de l'espace-temps, y compris sur les paires de points entre lesquels la distance dans l'espace tend vers zéro. Cela suppose donc tacitement que l'on puisse appliquer l'électrodynamique quantique à toutes les distances, y compris celles infiniment petites, ce qui est impossible. En effet, avec le perfectionnement des instruments de mesure, les physiciens explorent des distances de plus en plus petites et découvrent des faits nouveaux dont l'explication requiert de nouvelles théories. Mais les théories des physiciens ne sont qu'une approximation de la réalité, nul ne peut prétendre actuellement avoir construit La théorie complète et ultime de la Nature qui s'appliquerait à toutes les distances, même les plus petites. L'électrodynamique quantique ne peut prétendre être la théorie complète de la Nature, pour la simple raison qu'elle n'inclut pas les trois autres interactions fondamentales.

L'électrodynamique quantique est valable jusqu'à une certaine distance minimale qu'on choisit plus ou moins arbitrairement : l'addition des diagrammes de Feynman en boucle sur tous les points de l'espace-temps s'arrête alors à cette distance. On évite ainsi les quantités infinies mais le résultat du calcul de ces diagrammes dépend de cette distance minimale.

Certains des diagrammes de Feynman calculent des quantités physiques qu'on a mesurées en laboratoire, mais celles-ci ne doivent pas dépendre du choix de cette distance minimale. La technique de renormalisation permet justement d'éliminer cette distance minimale choisie arbitrairement en la remplaçant par des paramètres physiques comme la charge ou la masse de l'électron, mesurées dans des conditions expérimentales précises. Tous les diagrammes de Feynman sont alors fonction de ces paramètres physiques. La renormalisation n'est pas applicable à toutes les théories physiques, celles pour lesquelles elle est applicable sont dites renormalisables.

Une théorie renormalisable, même si elle n'est pas la théorie complète et ultime de la Nature et même si l'on ignore ce qui se passe aux très petites distances, permet, parce qu'elle est renormalisable, de calculer des processus et de faire des prédictions dans son domaine de validité. Une théorie physique ne doit pas dépendre des détails qui se passent aux très petites distances : par exemple, les lois newtoniennes que l'on utilise pour construire une maison ne doivent pas dépendre des détails des interactions entre les particules du noyau atomique.

Qu'est-ce que la renormalisation ?