Voyage vers l'infiniment petit
précédent
suivant
infos pratiques
crédits
Introduction
Mécanique quantique
Théorie quantique des champs
Electrodynamique quantique
Interaction faible
Modèle standard
Théories de grande unification
Supersymétrie, supergravité
Théorie des cordes
Conclusion
Ressources

Chromodynamique quantique

Comment les quarks se lient-ils pour former les hadrons ? Ils interagissent par l'intermédiaire des gluons de la même manière que les électrons interagissent par l'intermédiaire des photons. En plus d'une charge électrique, du spin et de l'isospin, les quarks possèdent un autre type de charge appelée couleur (cette appellation n'a aucun rapport avec la sensation physiologique de la couleur). La charge de couleur peut prendre trois valeurs : rouge (R), vert (G), bleu (B). Elle est responsable de l'interaction forte entre les quarks : un quark up bleu peut par exemple se transformer en quark up rouge en émettant un gluon de charge de couleur bleu-antirouge, la charge de couleur est ainsi conservée. Le gluon peut être absorbé par un quark down rouge, qui se transforme alors en quark down bleu.

Diagramme de Feynman de l'interaction forte : un quark up bleu se transforme en quark up vert en émettant un gluon de charge de couleur bleu-antivert. Le gluon est absorbé par un quark down rouge, qui se transforme alors en quark down vert.

Le méson est donc composé d'un quark qui a une des trois charges de couleur R, G et B et d'un antiquark qui a la charge de couleur complémentaire (antiR, antiG ou antiB) : le méson ne porte donc pas de charge de couleur, la combinaison couleur-anticouleur est blanche. Le baryon, lui, est composé de trois quarks, chacun de charge de couleur différente (R, G et B) : le baryon ne porte donc pas de charge de couleur lui non plus, la combinaison R+G+B est blanche.

Peut-on voir des quarks libres ? Non, car l'interaction forte se comporte comme un élastique : plus on tire sur un quark pour le séparer du hadron, plus l'intensité de l'interaction augmente, jusqu'au point où l'énergie de la liaison provoque la création d'une paire quark-antiquark. En tirant ainsi sur le quark d'un hadron, on ne peut pas le séparer du hadron mais on forme des mésons.

L'interaction forte se comporte comme un élastique : plus on tire sur un quark pour le séparer du proton, plus l'intensité de l'interaction augmente, jusqu'au point où l'énergie de la liaison provoque la création d'une paire quark-antiquark. En tirant ainsi sur le quark d'un proton, il est impossible de le séparer du proton, mais on forme en revanche des pions.

Le succès de la théorie de l'électrodynamique quantique a conduit les physiciens à fonder une théorie semblable pour l'interaction forte : la chromodynamique quantique. Toutes deux sont fondées sur le principe mathématique de symétrie de jauge, qui permet de décrire les interactions.

Pour établir la théorie d'une interaction fondamentale, les physiciens construisent d'abord une théorie libre qui décrit les particules élémentaires sans qu'elles interagissent. Par exemple, en électrodynamique quantique, on introduit d'abord les champs quantiques libres d'électrons et de positrons, décrits mathématiquement par des termes quadratiques que les équations mathématiques peuvent résoudre exactement. Puis les physiciens introduisent les interactions : en électrodynamique quantique, il s'agit d'introduire le champ de photons et d'écrire un terme de degré trois qui décrit le couplage électron-photon. C'est en appliquant le principe de jauge qu'on obtient l'expression mathématique de ces nouveaux termes.

Le principe de jauge fait appel à une branche des mathématiques appelée théorie des groupes de Lie, développée à la fin du XIXe siècle par Sophus Lie. L'exemple le plus simple est le groupe des rotations d'un cercle. Un élément de ce groupe est une rotation d'angle donné, par exemple la rotation de l'aiguille d'une horloge que l'on tourne manuellement d'un angle donné.

Un groupe a plusieurs propriétés mathématiques :
- Le résultat de deux rotations effectuées l'une après l'autre est aussi une rotation : si l'on tourne l'aiguille d'une horloge avec un premier angle, puis qu'on continue à la tourner avec un deuxième angle, le résultat est le même que celui obtenu en la tournant d'un coup avec la somme des deux angles.
- Le résultat de trois rotations effectuées successivement (on effectue d'abord une première rotation, puis une deuxième puis une troisième) est identique à celui obtenu en effectuant d'abord la première puis le résultat de la deuxième et de la troisième : cette propriété s'appelle associativité.
- Le groupe contient la rotation d'angle 0 (quand l'aiguille reste sur la même position), qu'on appelle élément neutre.
- Pour toute rotation d'angle donné, il existe une rotation d'angle contraire. En les effectuant l'une après l'autre, on obtient la rotation d'angle 0 (si l'on tourne l'aiguille dans un sens puis dans l'autre avec le même angle, cela équivaut à n'avoir rien fait).

Sophus Lie (1842-1899), mathématicien norvégien, professeur à l'Université de Kristiania (aujourd'hui Oslo), fondateur de la théorie des groupes continus qu'il applique à la géométrie et aux équations différentielles. En 1870, pendant la guerre franco-prussienne, il est emprisonné pendant un mois par les Français qui ont pris ses notes mathématiques pour des messages chiffrés et cru qu'il était un espion allemand.

Les groupes de Lie sont des groupes continus : ils ont une infinité d'éléments et on peut passer continûment de l'un à l'autre.

Par exemple, dans le cas du groupe des rotations du cercle, chaque élément est identifié par l'angle de la rotation, qui peut prendre une infinité de valeurs. Pour des raisons de commodité mathématique, on choisit le rayon du cercle égal à 1 : on peut ainsi exprimer la composition des rotations comme des produits de nombres complexes de module égal à 1. En jargon mathématique, ce groupe est appelé U(1) : le chiffre 1 signifie qu'il agit sur un espace unidimensionnel de nombres complexes, la lettre U, initiale d'unitaire, signifie que le module des nombres complexes est égal à 1 : c'est la définition du cercle de rayon 1.

Le groupe U(1) est commutatif (on dit aussi abélien) : l'ordre dans lequel on effectue les rotations n'a pas d'importance : si l'on effectue d'abord une première rotation puis une deuxième, le résultat est identique à celui obtenu en effectuant d'abord la deuxième puis la première. Un seul paramètre, l'angle de rotation, suffit pour identifier tout élément de ce groupe : on dit alors qu'il a un seul générateur.

Un autre exemple de groupe de Lie est le groupe de rotation dans l'espace à trois dimensions noté SO(3). Le chiffre 3 signifie qu'il agit dans un espace à trois dimensions, la lettre O, initiale d'orthogonal, signifie que ses éléments sont des matrices réelles ayant la propriété mathématique d'orthogonalité : il suffit d'intervertir les lignes et les colonnes de la matrice pour obtenir la rotation opposée. Une matrice réelle 3x3 a 9 éléments mais l'orthogonalité fait qu'il sont liés entre eux et 3 paramètres suffisent donc pour décrire toute rotation : on fixe la direction autour de laquelle on veut tourner (en précisant par exemple deux angles) puis on effectue la rotation d'angle donné. Le groupe a donc 3 générateurs. Enfin, la lettre S, initiale de spécial (le déterminant de la matrice est égal à 1), montre que les réflexions en miroir ne sont pas incluses dans ce groupe.

C'est en imposant à la théorie libre l'invariance par les transformations de jauge que l'on introduit les interactions. Dans le cas de l'électrodynamique quantique, on impose que la théorie soit invariante par les transformations de jauge du groupe U(1). En d'autres termes, si dans chaque point de l'espace-temps on multiplie le champ décrivant les électrons par n'importe quel nombre complexe de module égal à 1, les équations de la théorie restent les mêmes. Pour satisfaire ces exigences, il faut introduire un champ supplémentaire, le champ de jauge U(1). Ce dernier est exactement le champ qui obéit aux équations de Maxwell de l'électromagnétisme, il décrit donc les photons. Dans les équations de l'électrodynamique quantique il apparaît alors un terme de troisième degré qui décrit le couplage électron-photon.

Qu'est-ce qu'une théorie de jauge ?

Le fondement du principe de jauge est que des mesures effectuées dans un endroit donné ne doivent pas dépendre d'un autre endroit. Supposons par exemple que l'on mesure une grandeur physique à Paris puis la même grandeur à New York et que l'on veuille connaître la différence entre les deux valeurs. La réponse semble facile : il suffit de calculer la différence entre les deux valeurs mesurées. C'est vrai si l'on utilise des instruments de mesure « calibrés », par exemple si le « zéro » de l'échelle de l'instrument de mesure est fixé de la même manière dans les deux endroits, ou du moins si l'on sait où se trouve le « zéro » de l'instrument situé à New York par rapport au « zéro » de l'instrument situé à Paris. C'est en définissant un champ de jauge qu'on "calibre" les instruments de mesure.

Les théories de jauge sont fondées sur le fait que la mesure d'une grandeur physique dans un endroit ne doit pas dépendre d'un autre endroit. Pour rendre une théorie invariante par les transformations d'un groupe de jauge, il faut introduire un champ de jauge.

Autre exemple : supposons que l'on soit sur une planète dont le champ magnétique, contrairement à celui de la Terre, est complètement désordonné, et dont la direction du champ magnétique varie selon la position. Sur cette planète, chaque point a donc sa propre direction Nord, direction vers laquelle s'oriente l'aiguille de la boussole. Il serait donc impossible d'y utiliser la boussole pour naviguer. Mais si l'on définit un champ de jauge qui prend en compte le changement de direction du champ magnétique en fonction de la position et donc « calibre » la direction nord, cela devient possible.

On peut faire l'analogie suivante : on dispose d'une membrane en caoutchouc sur laquelle on a tracé des traits rectilignes, comme sur une feuille quadrillée. Ce quadrillage représente la théorie libre. Si l'on effectue une transformation mathématique (de jauge), les traits de la membrane se trouvent déformés ; la symétrie initiale est gâchée. Comment la restaurer ? En introduisant localement des forces pour tendre la membrane, jusqu'à ce que les traits redeviennent droits. C'est de cette manière que l'on introduit les interactions dans une théorie libre.

Une image intuitive des théories de jauge. Si dans une théorie libre (la membrane en caoutchouc initiale), on introduit des transformations de jauge, elle perd ses propriétés de symétrie (la membrane se déforme). Cette symétrie est restaurée si l'on introduit localement le champ de jauge (en rouge) qui décrit les interactions entre les particules.

Alors que l'électrodynamique quantique est fondée sur le groupe de jauge U(1), la chromodynamique quantique est fondée sur le groupe de jauge SU(3). Ce dernier est lui aussi un groupe de Lie, il décrit les matrices de 3 lignes et 3 colonnes de nombres complexes qui sont unitaires et spéciales. Ces matrices décrivent des rotations dans un espace interne à 3 dimensions : la matrice agit sur un objet à trois composants, les 3 charges de couleur des quarks. La lettre U, initiale d'unitaire, signifie que si l'on intervertit les lignes et les colonnes de la matrice et qu'on conjugue les nombres complexes (ce qui change le signe de la partie imaginaire), on obtient la matrice décrivant la rotation inverse. La lettre S, initiale de spéciale (le déterminant de la matrice est égal à 1), fixe la couleur blanche de la combinaison R+G+B. Le nombre de générateurs du groupe SU(3) est 8, l'interaction forte est donc décrite par 8 particules qui sont les gluons.

On peut construire des théories de jauge basées sur des groupes de Lie autres que U(1) et SU(3) : SO(3), le groupe des rotations spatiales en 3 dimensions, ou SU(2), le groupe spécial unitaire des matrices de nombres complexes à 2 lignes et 2 colonnes. En 1954, Chen Ning Yang et Robert Mills montrent comment construire les théories de jauge basées sur n'importe quel groupe de Lie : ce sont les théories de jauge Yang-Mills.

L'électrodynamique quantique est une théorie renormalisable, d'où son pouvoir de prédiction et son succès. La chromodynamique quantique est elle aussi renormalisable et on peut également construire des théories de Yang-Mills renormalisables pour n'importe quel groupe de Lie.

Comment varie la constante de couplage de l'interaction forte par rapport à l'énergie ? Alors qu'en électrodynamique quantique, le photon, médiateur de l'interaction électromagnétique, ne porte pas de charge électrique, en chromodynamique quantique, les gluons, médiateurs de l'interaction forte, portent des charges de couleur. Cette propriété modifie radicalement le comportement de la constante de couplage : un quark se trouve entouré par un nuage de quarks, anti-quarks et gluons virtuels. La charge de couleur des gluons produit un effet inattendu : plus on diminue l'énergie de l'accélérateur, donc plus on voit de gluons dans le nuage des particules virtuelles, plus la charge de couleur des quarks devient importante. Inversement, plus on augmente l'énergie de l'accélérateur, plus on pénètre dans le nuage des particules virtuelles, moins on voit de gluons, plus la charge de couleur des quarks est faible. Le sens de la variation de la constante de couplage de l'interaction forte est opposé à celui de l'électromagnétisme. Pour les basses énergies, l'intensité est très importante et devient pratiquement infinie autour de 200 GeV, ce qui explique que les quarks soient fortement liés dans les hadrons et qu'il soit impossible de les en séparer. En revanche, à haute énergie, l'intensité diminue fortement et les quarks se comportent comme des particules libres. C'est ce phénomène qui a été mis en évidence à SLAC en 1969.

Ce comportement de l'interaction forte par rapport à l'énergie est appelé liberté asymptotique, c'est David Gross, Frank Wilczek et David Polizer qui l'ont expliqué en 1973.

Liberté asymptotique.

David Gross (né en 1941), physicien américain, professeur aux universités de Princeton et Santa-Barbara. En 1973, en collaboration avec son étudiant Frank Wilczek, il découvre la liberté asymptotique : l'intensité de l'interaction forte diminue avec l'échelle de distance : des quarks situés à une très petite distance l'un de l'autre n'interagissent presque plus ; ils se comportent comme des particules libres. En 1985, il établit le modèle de la corde hétérotique, candidat pour une théorie unifiée des interactions fondamentales. Prix Nobel de physique en 2004.

David Politzer (né en 1949), physicien américain, professeur au California Institute of Technology. Il découvre la liberté asymptotique indépendamment de David Gross et Frank Wilczek. Il joue un rôle important dans la prédiction de la particule J/ψ, constituée du quark charm et de son antiquark. Prix Nobel de physique en 2004.

Frank Wilczek (né en 1951), physicien américain, professeur au MIT. Il découvre la liberté asymptotique en collaboration avec David Gross. Il apporte une contribution importante à la physique des matières condensées et introduit le concept d'anyon. Prix Nobel de physique en 2004.

En général, dans une théorie de jauge Yang-Mills, les particules médiatrices de l'interaction ont une masse nulle, en particulier le photon dans l'électrodynamique quantique et les gluons dans la chromodynamique quantique. Une particule de masse nulle est médiatrice d'une interaction de longue portée. C'est effectivement le cas de l'interaction électromagnétique. Mais que se passe-t-il dans le cas de l'interaction forte, puisqu'on s'attend à ce qu'elle n'agisse que sur des distances de la taille du noyau atomique ?

Bien que les gluons aient une masse nulle et transportent donc une interaction de longue portée, un phénomène nouveau apparaît dans les basses énergies : la constante de couplage de l'interaction forte devient très grande et les quarks se lient fortement pour former des hadrons : c'est le phénomène de confinement. L'interaction forte ne s'exerce qu'entre des quarks et gluons qui portent des charges de couleur. Quand aux hadrons, ils sont de couleur nulle. Par contre, dans le domaine des hautes énergies, il n'y a plus de confinement, les quarks et les gluons se comportent comme des particules libres et l'interaction forte a un long rayon d'action. Mais pour la mettre en évidence, il faut créer les conditions expérimentales appropriées : remonter l'histoire de l'Univers jusqu'aux premiers instants ou descendre dans les accélérateurs de particules. Dans le domaine des énergies ordinaires, le confinement est bien présent.

Comment expliquer alors le fait que les nucléons se lient pour former le noyau atomique ? Dans le noyau atomique, l'interaction entre les nucléons n'est qu'une réminiscence d'interaction forte entre les quarks et les gluons qui constituent les nucléons, de même que les forces van der Waals entre les molécules d'un gaz ne sont que l'effet combiné de l'ensemble des forces électromagnétiques s'exerçant entre les protons et les électrons des molécules. En d'autres termes, la théorie de Yukawa qui décrit l'interaction forte entre les nucléons par échange de mésons est une théorie approximative de la chromodynamique quantique dans le domaine des basses énergies.

Peut-on calculer la masse du proton à partir des masses des quarks ? Bien que le formalisme mathématique de la chromodynamique quantique soit solidement fondé et malgré ses nombreuses confirmations expérimentales, on n'a aujourd'hui toujours pas de réponse à cette question. La chromodynamique quantique est une théorie quantique des champs dont les prédictions quantitatives sont tributaires de la théorie des perturbations. Mais aux échelles d'énergie spécifiques du proton, la constante de couplage de l'interaction forte est si grande que la théorie des perturbations n'a plus aucun sens : les termes correctifs sont tellement importants que leur somme diverge. Aujourd'hui, les physiciens dirigent leurs efforts vers la recherche d'une solution alternative qui ne fasse pas appel à la théorie des perturbations. Cela implique la résolution exacte des équations de la chromodynamique quantique, un problème extrêmement difficile qui figure parmi les sept problèmes mathématiques ouverts du millenium, proposés en 2000 par l'Institut Clay à la conférence de Paris et dont la solution sera récompensée par un prix d'un million de dollars.