Voyage vers l'infiniment petit
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Théorie des cordes

Introduction

La théorie des cordes a initialement été conçue comme une alternative pour décrire l'interaction forte : il s'agissait par exemple de décrire le processus de collision entre deux hadrons comme la collision de deux cordes qui, en se brisant, forment d'autres hadrons. En 1968, Gabriele Veneziano trouve une formule mathématique pour décrire un tel processus ; ces théories, appelées modèles duaux, font naître de grands espoirs.

Gabriele Veneziano (né en 1942), physicien italien, chercheur au CERN, professeur à l'Institut Weizmann et au Collège de France. Il découvre une formule mathématique pour décrire les processus d'interaction forte comme des collisions entre des cordes.

Quelques années plus tard une théorie concurrente apparaît : la chromodynamique quantique. Le succès des expériences de l'accélérateur SLAC (Stanford) en 1969 et la mise en évidence de la liberté asymptotique en 1973 imposent par la suite la chromodynamique quantique, la plupart des physiciens abandonnent alors les modèles duaux, à l'exception de quelques-uns.

Ainsi, en 1975, Joël Scherk et John Schwarz montrent que la théorie des cordes contient une particule de spin 2 et de masse nulle, susceptible d'être identifiée au graviton, c'est-à-dire au quantum de la gravitation. Les cordes pourraient être donc plus adaptées pour décrire l'interaction gravitationnelle que l'interaction forte.

Joël Scherk (1946-1980), physicien français, directeur de recherche à l'Ecole Normale Supérieure. Il montre, en collaboration avec John Schwarz, que la théorie des cordes décrit le graviton, particule de spin 2 et de masse nulle. En collaboration avec Eugène Cremmer et Bernard Julia, il construit la théorie de supergravitation à 11 dimensions. Avec Cremmer, il propose le mécanisme de compactification spontanée dans la théorie quantique des champs.

En 1984, John Schwarz et Michel Green construisent un modèle cohérent de la théorie des cordes qui incorpore la violation de la parité et qui ne présente pas d'anomalies dans un espace-temps à 10 dimensions. L'intérêt pour la théorie des cordes regagne la communauté des physiciens en 1985, quand Edward Witten démontre que le nombre des dimensions peut être réduit de 10 à 4 tout en préservant la supersymétrie, à condition que les 6 dimensions supplémentaires soient compactifiées dans un espace spécial, dit de Calabi-Yau. La même année, David Gross et ses collaborateurs parviennent à construire des modèles, appelés cordes hétérotiques, qui contiennent des théories de jauge. Le rêve d'une théorie du tout prend enfin forme !

Depuis, l'intérêt pour la théorie des cordes n'a plus cessé de croître et il a gagné aussi la communauté des mathématiciens. En effet, le formalisme mathématique de la théorie des cordes est très complexe et hétérogène et présente des points de convergence entre différentes branches des mathématiques : des théorèmes appartenant à une certaine branche ont par exemple été démontrés en utilisant des outils appartenant à une autre branche.

John Schwarz (né en 1941), physicien américain, professeur au California Institute of Technology. En collaboration avec Michael Green, il construit des théories des supercordes qui incorpore la violoation d ela parité et qui ne présente pas d'anomalie dans un espace-temps à 10 dimensions.

Michael Green (né en 1946), physicien britannique, professeur à l'Université de Cambridge. En collaboration avec John Schwarz, il construit des théories des supercordes dans un espace-temps à 10 dimensions.

Edward Witten (né en 1951), physicien américain, professeur à l'Institut of Advanced Study de Princeton. Il montre que certaines théories des supercordes contiennent la théorie de supergravité à 11 dimensions, établit des dualités entre différents modèles de cordes, pose les bases de la M-theory et apporte d'importantes contributions en mathématiques. Médaille Fields en 1990.

À la différence de la théorie quantique des champs où les particules sont décrites par des points, dans la théorie des cordes, une particule est constituée par une corde de dimensions extrêmement petites (10-33 cm), sorte de lacet fermé ou ouvert qui se déplace et vibre. Si la corde vibre dans un certain mode, elle décrit un électron ; si elle vibre dans un autre mode, elle décrit un quark, et ainsi de suite.

Les cordes vibrent, se déplacent dans l'espace-temps et décrivent une surface à deux dimensions, appelée surface d'Univers.

Qu'est-ce que la théorie des cordes ?

Une particule en mouvement décrit dans la théorie des champs une ligne, dans la théorie des cordes une surface bidimensionnelle, un tube. Dans ce dernier cas, les concepts sont plus abstraits : en effet, sur cette surface bidimensionnelle, appelée surface d'Univers, on définit des entités mathématiques abstraites : des champs qui forment les coordonnées de l'espace-temps. Le nombre de champs définis sur la surface d'Univers donne alors les dimensions de l'espace-temps. La supersymétrie occupe une place privilégie dans les théories des cordes, elle facilite la stabilité de la théorie et la description des fermions, particules de spin demi-entier.

Les diagrammes Feynman, qui décrivent les interactions entre les particules, deviennent dans ce dernier cas un réseau de tubes intersectés. Or dans la théorie quantique des champs, les résultats infinis qui apparaissent lors des calculs en boucle sont dus aux points d'interaction entre trois lignes (vertex). Dans la théorie des cordes, l'intersection n'est plus un point mais une surface bidimensionnelle et les quantités infinies n'apparaissent plus : bien qu'il n'existe pas encore de preuve mathématique, il y a de fortes raisons de croire que la théorie de cordes est finie.

Diagramme de Feynman en théorie quantique des champs et en théorie des cordes.

Développement en perturbation en théorie des cordes.

Pourquoi la théorie des cordes ?

La théorie des cordes est actuellement la seule théorie à traiter la gravitation de manière quantique. En principe, elle unifie toutes les interactions fondamentales. Elle n'est valable que si l'espace-temps a 10 dimensions à cause de ce qu'on appelle, les anomalies : il arrive qu'une théorie classique possède une certaine symétrie mais que quand on y introduit les lois de la mécanique quantique, cette symétrie ne soit pas conservée, à moins d'y introduire certaines contraintes. Une anomalie est une symétrie classique qui n'est plus respectée au niveau quantique. Par exemple, dans le Modèle Standard, l'interaction faible, violant la parité, pourrait conduire à une anomalie gauche-droite (anomalie chirale de jauge) et menacer la renormalisabilité de la théorie, si la somme des charges électriques d'une famille de leptons et quarks n'est pas nulle. Heureusement, c'est le cas : si l'on additionne les charges électriques des quarks up et down (chacun ayant trois couleurs) avec les charges électriques des leptons électron et neutrino, on obtient : 3 x (2/3-1/3) + (-1) + 0 = 0.

Qu'est-ce qu'une anomalie ?

De manière analogue, il existe dans la théorie des cordes des symétries : la physique décrite par la théorie ne doit pas dépendre de la manière dont on choisit les coordonnées sur la surface d'Univers. On dit que la théorie est invariante par rapport à ce choix de coordonnées. On a rencontré à plusieurs reprises le concept d'invariance : la théorie de la gravitation d'Einstein est invariante par rapport à un changement des coordonnées de l'espace-temps, les théories de jauge sont invariantes par rapport à un changement de jauge. Si l'on introduit les lois quantiques dans la théorie des cordes, l'invariance de la théorie par rapport aux changements des coordonnées de la surface d'Univers est menacée (présente une anomalie), à moins que la dimension de l'espace-temps soit égale à 10.

Pourquoi la théorie des cordes n'est valable qu'à 10 dimensions ?

On peut ainsi construire cinq théories des cordes différentes dans un espace-temps à 10 dimensions. Dans le jargon des physiciens, elles s'appellent : type I, type IIA, type IIB, hétérotique E8xE8 et hétérotique SO(32). Les cordes sont ouvertes ou fermées dans la théorie type I et seulement fermées dans les autres cas. Comme leurs noms l'indiquent, la théorie hétérotique SO(32) contient le groupe de jauge de rotation SO(32) (agissant dans un espace de symétrie interne décrit pas des matrices de rotation d'un espace interne à 32 dimensions) et la théorie hétérotique E8xE8 contient le groupe de jauge spécial E8xE8. Cette dernière pourrait contenir les groupes de jauge d'une Théorie de Grande Unification et est donc une candidate potentielle pour l'unification des interactions fondamentales.