Voyage vers l'infiniment petit

Mécanique quantique

Introduction

Quand dans un séminaire, Erwin Schrödinger expose les idées de Louis de Broglie, son collègue Peter Debye s'exclame : « Qu'est-ce que c'est que cette onde qui n'a pas d'équation ? ». En effet, en général, les physiciens posent d'abord des équations, puis ils cherchent à les résoudre. Dans ce cas, au contraire, de Broglie avait d'abord postulé l'existence d'une onde sans en avoir posé d'équation. À la suite de ce séminaire, Schrödinger trouve en 1925 une équation pour les ondes de Louis de Broglie, posant ainsi les bases de la mécanique ondulatoire.

À la même époque, Werner Heisenberg arrive à la conclusion qu'il est impossible de déterminer avec précision la position et la vitesse d'une particule car cette dernière est toujours perturbée par son interaction avec l'instrument de mesure. Localiser un électron à l'aide de la lumière implique une interaction entre cet électron et un photon. Pour localiser plus précisément la position, il faut utiliser un photon de longueur d'onde plus petite, donc plus énergétique, qui produit sur l'électron qu'il heurte un changement de vitesse plus important. Pour mesurer plus précisément la vitesse de l'électron, il faut au contraire utiliser des photons moins énergétiques, donc de longueur d'onde plus grande, mais on perd alors en précision sur la position.

Heisenberg élabore ainsi la mécanique matricielle : au lieu d'utiliser comme Schrödinger une équation différentielle pour décrire l'évolution d'un système quantique, il utilise des objets mathématiques peu familiers aux physiciens de l'époque : des tableaux de nombres appelés matrices, qui ont la propriété de ne pas forcément commuter. La position et la vitesse des particules sont décrites par des matrices. L'impossibilité de déterminer simultanément avec précision la position et la vitesse d'une particule se traduit par le fait que la matrice correspondant à la position et celle correspondant à la vitesse ne commutent pas.
Deux entités mathématiques commutent quand l'ordre dans lequel on les multiplie n'a pas d'importance et conduit au même résultat. Par exemple, le résultat de 3x5 est égal au résultat de 5x3. Il existe au contraire des objets mathématiques qui ne commutent pas : l'ordre dans lequel on les multiplie est déterminant. C'est le cas des rotations dans l'espace à trois dimensions : si l'on effectue d'abord une rotation autour de l'axe 0x puis une autre autour de l'axe 0z, le résultat est différent de celui obtenu en effectuant d'abord la rotation autour de l'axe 0z, puis celle autour de l'axe 0x.

On peut décrire les opérations de rotation dans l'espace tridimensionnel par des tableaux de nombres appelés matrices. Une rotation transforme un point initial identifié par ses trois coordonnées (x₁,y₁,z₁) en un autre point identifié par les coordonnées (x₂,y₂,z₂). Les coordonnées x₂, y₂ et z₂ peuvent être calculées en additionnant x1, y1 et z1 pondérés par des coefficients (qui dépendent de l'angle et de la direction de la rotation), ce qui implique de connaître 3x3=9 coefficients. Une manière plus élégante d'effectuer ces calculs consiste à grouper ces coefficients dans un tableau de 3 lignes et 3 colonnes appelé matrice de rotation. Effectuer deux rotations consécutives revient à multiplier les deux matrices qui leur correspondent ; cela nécessite d'avoir défini les règles de multiplication des éléments des matrices. La composition des rotations n'étant pas commutative, la multiplication des matrices ne l'est pas non plus.

En 1926, Paul Adrien Maurice Dirac montre que ces deux descriptions sont parfaitement équivalentes. Les bases du formalisme mathématique de la mécanique quantique sont posées.