Compactification
Cependant, l'espace-temps dans lequel nous vivons n'a que 4 dimensions (3 spatiales et une temporelle), il faut donc rendre les 6 autres peu visibles. Une telle possibilité existe : c'est la compactification.
L'idée de la compactification n'est pas nouvelle : les mathématiciens Theodor Kaluza et Oskar Klein l'ont appliquée en essayant d'unifier l'électromagnétisme de Maxwell avec la gravitation d'Einstein. Ils ont introduit un espace-temps à cinq dimensions, dont une des dimensions spatiales est compactifiée, c'est-à-dire enroulée sur elle-même pour former un cercle, les quatre autres dimensions étant celles de l'espace-temps de la théorie de la gravitation d'Einstein. En appliquant la relativité générale dans cet espace-temps à cinq dimensions, Kaluza et Klein construisent une théorie qui contient la relativité générale d'Einstein dans l'espace-temps à quatre dimensions mais aussi la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell et un champ supplémentaire de spin zéro, appelé dilatation. Le fait que la théorie de Maxwell résulte de la compactification sur un cercle est intiment lié au fait que l'électromagnétisme est une théorie de jauge U(1), c'est-à-dire une théorie de jauge des rotations du cercle.
Theodor Kaluza (1885-1954), mathématicien allemand, professeur aux universités de Königsberg, Kiel et Göttingen. En 1921, il ajoute une cinquième dimension à l'espace-temps et montre qu'une théorie de la gravitation dans un tel espace-temps à cinq dimensions contient la théorie de la gravitation d'Einstein (à quatre dimensions), la théorie de Maxwell de l'électromagnétisme et un champ de spin zéro appelé dilatation.
Oskar Klein (1894-1977), mathématicien suédois, professeur aux universités de Michigan, Lund et Stockholm. En 1926, il introduit un espace-temps à cinq dimensions, dont l'une des dimensions spatiales s'enroule sur elle-même pour former un cercle de dimensions suffisamment petites pour qu'il ne soit pas observable, et obtient ainsi les mêmes résultats que Kaluza.
Un exemple simple de compactification dans un espace bidimensionnel est le tuyau d'arrosage : une dimension est enroulée sur elle-même pour former un cercle (on l'observe en sectionnant le tuyau), alors que l'autre s'étend sur une certaine distance et a deux bouts. Si l'on regarde de près ce tuyau, on voit un cylindre avec une surface à deux dimensions. Si au contraire on s'éloigne suffisamment, on ne voit qu'un fil ayant donc une seule dimension : le tuyau n'a plus d'épaisseur car la dimension enroulée n'est plus visible.
Qu'est-ce que la compactification ?
En 1976, Eugène Cremmer et Joël Scherk reprennent les idées de Kaluza et Klein pour les appliquer aux théories de supergravité, puis en 1979, Joël Scherk et John Schwarz les appliquent à la théorie des cordes. Dans cette dernière, il existe plusieurs façons de compactifier les 6 dimensions excédentaires : en formant des cercles, des tores ou des espaces plus compliqués comme les orbiforlds et les Calabi-Yau.
Compactification sur une sphère dans les théories de Kaluza-Klein. Il s'agit d'une image intuitive : la feuille quadrillée représente l'espace-temps à quatre dimensions. Dans chaque point de l'espace-temps, les dimensions excédentaires sont compactifiées pour former une sphère.
Compactification sur un tore.
La compactification peut être réalisée à l'aide d'objets mathématique plus compliqués, par exemple les orbifolds.
La compactification est une solution intéressante mais elle pose aussi
de nombreux problèmes :
- Le nombre de possibilités pour compactifier les 6 dimensions supplémentaires
est immense, le nombre de théories des cordes possibles atteint donc
lui aussi des chiffres astronomiques. À présent, on ne dispose
pas encore de modèle simple et réaliste qui reproduirait la physique
du Modèle Standard. Le jour où l'on en disposera, il faudra expliquer
pourquoi la Nature a choisi tel type de compactification plutôt que tel
autre.
- La compactification produit une flopée de particules élémentaires
non inclues dans le Modèle Standard. Ces particules élémentaires
supplémentaires n'interagissent que par interaction gravitationnelle
avec celles du Modèle Standard et forment ce qu'on appelle le secteur
caché. Il sera extrêmement difficile de les mettre en évidence
en utilisant la technologie des accélérateurs de particules actuels.
Malgré ces impasses, les physiciens poursuivent avec persévérance
leurs recherches sur la théorie des cordes.
Dans une théorie quantique des champs ou dans une théorie des cordes, la compactification Kaluza-Klein engendre un spectre de particules dont les impulsions sont des multiples entiers d'une quantité inversement proportionnelle au rayon du cercle de compactification. Ce phénomène peut se comprendre facilement dans le cas où la dimension compactifiée est un cercle : un cercle de rayon donné ne peut vibrer qu'avec des fréquences multiples d'une fréquence fondamentale qui est inversement proportionnelle au rayon du cercle, de même qu'une corde de violon ne peut vibrer qu'avec des fréquences (harmoniques) multiples d'une fréquence fondamentale qui est inversement proportionnelle à la longueur de la corde.
Il existe cependant dans ce spectre une autre contribution, spécifique aux théories des cordes. On définit sur la surface d'Univers des champs dont certains forment les coordonnées de l'espace-temps et d'autres sont compactifiés. Considérons une surface en forme de tube : en faisant faire au champ compactifié une rotation complète autour du tube, il peut retrouver sa valeur initiale. Mais on peut aussi le faire tourner deux fois avant qu'il retrouve sa valeur initiale, ou trois fois, quatre fois, et ainsi de suite. Ces enroulements, appelés « windings », apportent à l'énergie des particules des contributions multiples d'une quantité proportionnelle au rayon de compactification et au nombre d'enroulements. Une analogie utile est l'enroulement d'un ruban élastique autour d'un doigt : on peut faire un tour, deux tours, trois tours, et ainsi de suite. Plus il y a de tours et plus le diamètre du doigt est important, plus il faut rendre le ruban et donc plus l'énergie nécessaire pour les réaliser est importante.