Voyage vers l'infiniment petit

Dualité

En conclusion, l'énergie d'une particule reçoit deux contributions : l'une proportionnelle (provenant des enroulements), l'autre inversement proportionnelle (provenant de la compactification Kaluza-Klein) au rayon de compactification. Les conséquences en sont importantes :

- Il existe une relation de réciprocité, appelée dualité, entre les modes de Kaluza-Klein et les modes d'enroulement. Si le rayon de compactification est grand, les contributions des modes Kaluza-Klein aux masses des particules ont un spectre dont les niveaux sont rapprochés, alors que les niveaux qui correspondent aux modes d'enroulement sont espacés. Si le rayon de compactification est petit, c'est le contraire. Pour une certaine valeur intermédiaire du rayon de compactification, les deux spectres sont identiques : c'est le point de dualité. Si pour certaines valeurs du rayon de compactification, le spectre des modes Kaluza-Klein d'une première théorie des cordes est identique au spectre d'enroulement d'une deuxième théorie des cordes et inversement, les deux théories sont duales et cette dualité porte le nom de dualité T. C'est le cas pour les théories des type IIA et IIB, mais aussi pour les théories hétérotique SO(32) et hétérotique E(8)xE(8).

- Les relations d'incertitude d'Heisenberg sont modifiées. Dans la théorie quantique des champs, elles montrent que pour explorer des distances de plus en plus petites, il faut bombarder la cible avec des particules pouvant transférer à la cible des impulsions de plus en plus grandes, donc avec des particules de plus en plus énergétiques, d’où la construction d'accélérateurs de particules de plus en plus puissants. Dans la théorie des cordes, en augmentant l'impulsion transférée à la cible, on arrive dans un premier temps à explorer des distances de plus en plus petites, comme le montre le terme de Kaluza-Klein, inversement proportionnel au rayon de compactification. Mais si l'on continue d'augmenter l'impulsion transférée à la cible, on n'arrive plus à franchir la distance minimale égale au rayon de dualité : on excite alors les modes d'enroulement, proportionnels au rayon de compactification. La distance minimale a une importance cruciale pour l'astrophysique et la cosmologie, car les trous noirs et le Big Bang, cas de figure où les champs gravitationnels sont extrêmement intenses, ne peuvent être décrits par la théorie d'Einstein ou par la théorie quantique des champs : si l'énergie augmente indéfiniment, la distance diminuerait indéfiniment jusqu'à zéro ! La théorie des cordes montre qu'il existe une limite aux petites distances, donc une limite à la grandeur de l'énergie. Si l'Univers était en contraction, évolution inverse au Big Bang, il ne pourrait pas se contracter éternellement car au fur et à mesure qu'il se contracterait, sa partie duale se dilaterait. Les physiciens s'intéressent actuellement beaucoup à ce domaine.

En 1995, Christophe Hull, Paul Townsend et Edward Witten montrent que différentes théories des cordes sont liées par une transformation mathématique, appelée dualité S.
Dans les théories, il arrive souvent qu'il soit difficile, voire impossible de calculer de façon exacte des processus ou des grandeurs physiques. On se contente alors d'utiliser la théorie des perturbations et de faire des calculs approximatifs : on exprime le résultat comme une somme des termes successifs, appelée série de perturbation. En fonction du degré de précision voulu, on prend en compte dans le calcul un nombre de termes plus ou moins grand, plus il est élevé, meilleure est l'approximation. Cette méthode ne fonctionne que si au fur et à mesure de l'augmentation du nombre des termes, ils deviennent de plus en plus petits. C'est le cas de l'électrodynamique quantique : la grandeur des termes successifs se trouve diminuée par la constante de couplage électromagnétique (ou constante de structure fine), égale à 1/137, ce qui permet d'obtenir d'excellentes approximations même si la somme des perturbations ne contient que deux ou trois termes. C'est également le cas de la chromodynamique quantique dans le régime des hautes énergies. Par contre, dans le domaine des basse énergies, la constante de couplage de l'interaction forte devient supraunitaire, les termes de la série des perturbations deviennent de plus en plus grands et le résultat n'a plus aucun sens : on ne peut rien calculer. C'est pourquoi dans la chromodynamique quantique, on ne sait pas calculer la masse du proton même si l'on connaît les masses des quarks.
Les physiciens ont donc canalisé leurs efforts dans la recherche de théories exactement solubles, c'est-à-dire dans lesquelles on peut calculer de façon exacte des processus ou des grandeurs physiques sans faire appel à la théorie des perturbations. Malheureusement, leur nombre est très restreint et elles ne restent que des modèles, qui ne décrivent pas la réalité de la Nature.

Edward Witten montre que certaines théories ayant une forte constante de couplage peuvent être liées par des transformations mathématiques, appelées dualités, à d'autres théories, appelées théories duales, dans lesquelles la constante de couplage est très faible. Dans ces dernières, grâce à la théorie des perturbations, on peut donc calculer diverses grandeurs physiques. L'idée est d'exploiter ensuite la dualité pour exporter ces grandeurs vers la théorie initiale de forte constante de couplage où la théorie des perturbations ne peut pas être utilisée.

Cette dualité, dite S, existe entre la théorie des cordes du type I et la théorie hétérotique SO(32). La théorie des cordes du type IIB est auto-duale : par une transformation de dualité S, elle se transforme en elle-même.

Ces théories sont définies dans un espace-temps à 10 dimensions. Si l'on ajoute une dimension supplémentaire, on peut établir de nouveaux liens entre elles mais également avec les théories de supergravité à 11 dimensions. Cela suggère que toutes ces théories sont inclues dans une théorie encore plus générale, qui a reçu le nom de M-theory. La lettre M viendrait probablement de Magic ou Mystery.

Si dans la théorie M on compactifie la 11^e dimension sur un cercle, on obtient la théorie des cordes du type IIA. Si on la compactifie sur un segment, on obtient la théorie hétérotique E8xE8. La théorie M est d'une richesse sans commune mesure et contient d'autres objets mathématiques ayant p dimensions appelé p-branes, qui généralisent les particules et les cordes. Ainsi les 0-branes sont les particules ordinaires de dimension 0 et leur trajectoire dans l'espace-temps est donc une ligne, les 1-branes sont des cordes de dimension 1 et leur trajectoire dans l'espace-temps est donc une surface bidimensionnelle, les 2-branes sont des membranes bidimensionnelles et leur trajectoire dans l'espace-temps est donc un volume, et ainsi de suite. Une classe spéciale de p-branes est les Dirichlet-branes (ou D-branes). Pour des raisons de cohérence mathématique, une corde ouverte de type I doit présenter à ses deux extrémités certaines conditions : soit ses extrémités sont libres et la corde n'échange pas d'énergie par ses extrémités, condition appelée von Neuman, soit la corde peut échanger de l'énergie mais ses extrémités sont contraintes de se déplacer sur des surfaces, condition appelée Dirichlet. Ce sont ces surfaces que l'on appelle D-branes.

Les D-branes peuvent avoir une importance exceptionnelle dans l'explication des particules élémentaires du Modèle Standard. Cependant, il reste encore à trouver une connexion solide entre la M-theory et le Modèle Standard.

La M-theory est très complexe et les physiciens sont encore loin d'avoir compris toutes ses facettes, qui sont actuellement l'objet de recherches continues et intenses.